Możliwe światy w logice: co nieco o logice modalnej


Notice: Undefined variable: footnotelist in /home/tologicz/domains/tologiczne.pl/public_html/wp-content/plugins/latex2html/inc/core.php on line 475

Możliwe światy są istotnym tematem sporów w filozofii. Mają one również duże znaczenie w logice modalnej, stanowią w zasadzie jej podstawę. Dzisiaj opowiem Ci, jaką rolę pełnią światy możliwe w logice.

Uwaga: w tym artykule nie będę zagłębiał się w spory filozoficzne dotyczące tego, czym są możliwe światy. Zamiast tego pokażę Ci “wersję minimum” rozumienia tego pojęcia w logice modalnej i do czego ono służy. Jeśli interesuje Cię filozoficzny aspekt tego zagadnienia, polecam darmowy i dostępny elektronicznie numer czasopisma „Filozofuj” o możliwych światach. Kliknij tutaj, żeby pobrać jego wersję PDF.

Możliwe światy w logice

Zapewne zdarzyło Ci się chociaż raz usłyszeć w jakimś kontekście określenie „możliwy świat”. Być może kojarzy Ci się to z jakąś alternatywną Ziemią albo z rozważaniami na temat tego, czy wykreowany w jakimś filmie fikcyjny świat mógłby być światem rzeczywistym. W logice wyrażenie „możliwy świat” jest rozumiane inaczej, chociaż w pewnym sensie zawiera w sobie te intuicje. Otóż, możliwym światem w logice nazywamy to, jak świat może się mieć, przy czym przez świat nie rozumiemy planety Ziemi, tylko całe uniwersum, wszystko.  Czyli, innymi słowy, możliwym światem jest każdy sposób, w jaki wszystko może istnieć.

Powiedzmy sobie teraz co nieco o cechach możliwych światów.

Po pierwsze, możliwy świat w logice nie zawiera w sobie sprzeczności. Na przykład, logicznie niemożliwy jest świat, w którym Patryk Popławski zarazem żyje i nie żyje. Możliwy jest natomiast świat, w którym Patryk Popławski żyje i możliwy jest świat, w którym Patryk Popławski nie żyje. Jednakże są to dwa różne od siebie możliwe światy.

Po drugie, każdy świat możliwy jest światem zupełnym. Znaczy to, że każde zdanie, które coś stwierdza, jest w każdym z tych światów albo prawdziwe, albo prawdziwa jest jego negacja. Na przykład, w każdym możliwym świecie jest tak, że albo prawdą jest, że Patryk Popławski żyje, albo prawdą jest, że Patryk Popławski nie żyje.

Po trzecie, szczególnym rodzajem świata możliwego jest świat aktualny, czyli to, jak wszystko się aktualnie ma. Spróbujmy to zobrazować pewnym przykładem. Załóżmy, że rzucasz kostką i wypada Ci szóstka:

Dice Six Eyes Gamble Luck PNG | Picpng

Wtedy obrazek wyżej reprezentuje reprezentuje możliwy świat, którym jest świat aktualny, tj. taki aktualny sposób istnienia wszystkiego, w ramach którego wypadło sześć oczek. A że jest to możliwy świat, to nietrudno zrozumieć czemu: to, jak się świat ma, jest w szczególności tym, jak świat może się mieć. Poza tym istnieją inne możliwe światy, które nie są aktualne, a mianowicie takie, w których wypadłaby Ci jedynka, dwójka, trójka, czwórka lub piątka.

One Dice Eyes - Free vector graphic on PixabayFree vector graphics of TwoFree vector graphics of ThreeFree vector graphics of DiceFree vector graphics of Five

Po czwarte, nie każdy możliwy świat w logice jest nomologicznie możliwym światem, chociaż każdy nomologicznie możliwy świat jest logicznie możliwy. Nomologicznie możliwy świat to taki świat, który ma takie same prawa przyrody jak świat aktualny.  Nomologicznie niemożliwy zaś jest taki świat, który nie ma takich samych praw przyrody jak świat aktualny. Wiele światów nomologicznie niemożliwych mieści się w zakresie światów logicznie możliwych. Na przykład, niemożliwy nomologicznie jest świat, w którym człowiek potrafi latać. Logicznie jednak ten świat jest możliwy – przy innym układzie praw przyrody mogłoby być bowiem tak, że człowiek mógłby latać.

Możliwy świat a wyobrażalny świat

Są mocne argumenty za tym, że możliwe światy nie są tym samym, co wyobrażalne światy. Wedle tego stanowiska to, że pewnego stanu rzeczy nie potrafimy sobie wyobrazić, nie znaczy, że jest niemożliwy. Na przykład, był taki czas, gdy nasi przodkowie nie potrafili sobie wyobrazić takiego takiego świata, w którym Ziemia jest geoidą. Jak dziś wiemy, jest geoidą. Możliwy jest więc świat, w którym Ziemia jest geoidą.

Ponadto, zwolennicy tego poglądu twierdzą, że to, iż potrafimy sobie wyobrazić pewien stan rzeczy, nie znaczy, że jest możliwy. Przez wiele wieków matematycy szukali procedury, która pozwala skonstruować dla każdego okręgu kwadrat o identycznym polu jak ten okrąg. Potrafili więc sobie wyobrazić, że taka procedura istnieje. Jednakże, jak już udowodniono, taka procedura nie jest możliwa, tj. nie jest możliwy świat, w którym taka procedura istnieje.

Czym jest logika modalna?

Logika modalna to taka teoria logiczna, która zajmuje się pojęciami koniecznościmożliwości, a także ich wariantami. Są to właśnie modalności, czyli takie wyrażenia, które wskazują nam stopień pewności sądu. Na przykład, w zdaniu „Możliwe jest, że szczur Śnieżek ugryzie palucha Patryka Popławskiego” wyrażenie „możliwe jest, że” to modalność, ponieważ wskazuje nam, jaki jest stopień pewności sądu „Szczur śnieżek ugryzie palucha Patryka Popławskiego”.

Modalności mogą pojawiać się w stylizacji de dicto  (o zdaniu) i de re (o rzeczy). Stylizacja de dicto polega na tym, że odnoszą się one do zdania. Przykład:

  • Konieczne jest, że każdy pies jest zwierzęciem.
  • Możliwe jest, że Jan pojedzie do babci.

W stylizacji de re zamiast ze zwrotami „możliwe jest, że…” i „konieczne jest, że” mamy do czynienia z wyrażeniami „może” i „musi”. Odnoszą się one do rzeczy i mówią coś o ich cechach. Powyższe zdania w stylizacji de re wyglądają następująco:

  • Każdy pies musi być zwierzęciem.
  • Jan może pojechać do babci.

Światy dostępne

Istotna w logice modalnej jest relacja dostępności między światami. Światami dostępnymi z danego świata są tylko światy, które znajdują się z nim w relacji dostępności. Ale co to właściwie znaczy?

Sprawa jest nieco skomplikowana, więc wyjaśnię Ci to w uproszczony sposób. To, że świat Y jest dostępny ze świata X znaczy, że prawdziwość zdań w świecie Y jest istotna dla oceny, czy zdania modalne (a więc zdania z modalnościami „konieczne jest, że” i „możliwe jest, że”) w świecie X są prawdziwe. Tak wygląda to w uproszczeniu, ale sprawa jest nieco bardziej skomplikowana, a żeby ją zrozumieć, trzeba mieć już głębszą wiedzę logiczną. Jako ciekawostkę powiem Ci, że zazwyczaj uznaje się w logikach modalnych, że światem dostępnym z danego świata X jest również sam świat X, ale można rozważać i taką wersję relacji dostępności, która nie pozwala tego uznać.

Prawdziwość zdań modalnych

Przyszedł czas na wyjaśnienie, co to znaczy, że dane zdanie modalne jest prawdziwe. Powiedzmy, że „p” oznacza dowolne zdanie, a „X” jakiś możliwy świat. Otóż mówi się, że zdanie o postaci „Konieczne jest, że p” jest prawdziwe w świecie X wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym możliwym świecie, który jest dostępny ze świata X jest tak, że zdanie p jest prawdziwe. 

  • Zapytajmy: czy prawdą jest (w naszym świecie), że konieczne jest, że jeśli pada deszcz, to pada deszcz? Odpowiedź jest twierdząca: deszcz nie może zarazem padać i nie padać, więc jeśli pada, to pada.  W każdym dostępnym z naszego świata możliwym świecie jest tak, że jeśli deszcz pada, to pada.

Zostają nam jeszcze zdania typu „Możliwe jest, że p”.  Zdanie o postaci „Możliwe jest, że p” jest prawdziwe w świecie X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jeden możliwy i dostępny świat ze świata X, w którym jest tak, że p jest prawdziwe.

  • Zapytajmy: czy prawdą jest (w naszym świecie), że możliwe jest, że jakiś kot pije mleko? Odpowiedź jest twierdząca. Istnieje co najmniej jeden taki dostępny z naszego świata możliwy świat, w którym kot pije mleko.

I to byłoby dzisiaj na tyle 😉

Zostaw komentarz!

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.